Drgania i ruch harmoniczny - teoria, wzory i definicje

Ruch harmoniczny prosty to ruch drgający, w którym siła działająca na ciało jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i skierowana do niego: \( F = -kx \). Znak minus oznacza, że siła zawsze przeciwdziała wychyleniu (siła zwracająca).

• Wychylenie zmienia się sinusoidalnie: \( x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0) \).
• \( A \) to amplituda, \( \omega \) - częstość kołowa, \( \varphi_0 \) - faza początkowa.

Przykładami są drgania ciężarka na sprężynie i (dla małych wychyleń) wahadło matematyczne.

Drgania charakteryzują podstawowe wielkości:

• amplituda \( A \) - maksymalne wychylenie z położenia równowagi,
• okres \( T \) - czas jednego pełnego drgania,
• częstotliwość \( f = \frac{1}{T} \) - liczba drgań na sekundę [Hz],
• częstość kołowa \( \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \).

Prędkość i przyspieszenie również zmieniają się okresowo: \( v(t) = A\omega\cos(\omega t) \), \( a(t) = -A\omega^2\sin(\omega t) = -\omega^2 x \). Przyspieszenie jest największe na krańcach (maksymalne wychylenie), a prędkość - w położeniu równowagi.

Dwa najważniejsze oscylatory mają charakterystyczne okresy:

• wahadło matematyczne (małe wychylenia): \( T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \) - zależy tylko od długości i przyspieszenia ziemskiego, nie od masy,
• ciężarek na sprężynie: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \) - zależy od masy i stałej sprężystości.

Co ważne, okres wahadła nie zależy od amplitudy (dla małych kątów) - to izochronizm wahadła. Wahadło może służyć do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego g.

W ruchu harmonicznym energia mechaniczna jest stała i przechodzi okresowo między energią potencjalną a kinetyczną:

• W położeniu równowagi cała energia to energia kinetyczna (prędkość maksymalna).
• W punkcie maksymalnego wychylenia cała energia to energia potencjalna sprężystości.

Energia całkowita jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Maksymalna prędkość wynosi \( v_{max} = A\omega \), a maksymalne przyspieszenie \( a_{max} = A\omega^2 \).

W rzeczywistości drgania zanikają wskutek oporów (tarcie, opór powietrza) - to drgania tłumione, których amplituda maleje z czasem. Aby je podtrzymać, stosuje się drgania wymuszone siłą zewnętrzną o pewnej częstotliwości.

• Rezonans zachodzi, gdy częstotliwość siły wymuszającej jest równa częstotliwości własnej układu.
• Wtedy amplituda drgań gwałtownie rośnie.

Rezonans bywa pożyteczny (instrumenty muzyczne, odbiorniki radiowe), ale i groźny - może prowadzić do zniszczenia konstrukcji (mostów, budynków podczas trzęsień ziemi).