Drgania i ruch harmoniczny — teoria, wzory i definicje | Fizyka

Czym jest ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny prosty to ruch drgający, w którym siła działająca na ciało jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i skierowana do niego: $ F = -kx $. Znak minus oznacza, że siła zawsze przeciwdziała wychyleniu (siła zwracająca).

Wychylenie zmienia się sinusoidalnie: $ x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0) $.
$ A $ to amplituda, $ \omega $ - częstość kołowa, $ \varphi_0 $ - faza początkowa.

Przykładami są drgania ciężarka na sprężynie i (dla małych wychyleń) wahadło matematyczne.

Wielkości opisujące drgania

Drgania charakteryzują podstawowe wielkości:

amplituda $ A $ - maksymalne wychylenie z położenia równowagi,
okres $ T $ - czas jednego pełnego drgania,
częstotliwość $ f = \frac{1}{T} $ - liczba drgań na sekundę [Hz],
częstość kołowa $ \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} $.

Prędkość i przyspieszenie również zmieniają się okresowo: $ v(t) = A\omega\cos(\omega t) $, $ a(t) = -A\omega^2\sin(\omega t) = -\omega^2 x $. Przyspieszenie jest największe na krańcach (maksymalne wychylenie), a prędkość - w położeniu równowagi.

Okres drgań wahadła i sprężyny

Dwa najważniejsze oscylatory mają charakterystyczne okresy:

wahadło matematyczne (małe wychylenia): $ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $ - zależy tylko od długości i przyspieszenia ziemskiego, nie od masy,
ciężarek na sprężynie: $ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $ - zależy od masy i stałej sprężystości.

Co ważne, okres wahadła nie zależy od amplitudy (dla małych kątów) - to izochronizm wahadła. Wahadło może służyć do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego g.

Energia w ruchu harmonicznym

W ruchu harmonicznym energia mechaniczna jest stała i przechodzi okresowo między energią potencjalną a kinetyczną:

$$ E_c = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv_{max}^2 $$

W położeniu równowagi cała energia to energia kinetyczna (prędkość maksymalna).
W punkcie maksymalnego wychylenia cała energia to energia potencjalna sprężystości.

Energia całkowita jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Maksymalna prędkość wynosi $ v_{max} = A\omega $, a maksymalne przyspieszenie $ a_{max} = A\omega^2 $.

Drgania tłumione i rezonans

W rzeczywistości drgania zanikają wskutek oporów (tarcie, opór powietrza) - to drgania tłumione, których amplituda maleje z czasem. Aby je podtrzymać, stosuje się drgania wymuszone siłą zewnętrzną o pewnej częstotliwości.

Rezonans zachodzi, gdy częstotliwość siły wymuszającej jest równa częstotliwości własnej układu.
Wtedy amplituda drgań gwałtownie rośnie.

Rezonans bywa pożyteczny (instrumenty muzyczne, odbiorniki radiowe), ale i groźny - może prowadzić do zniszczenia konstrukcji (mostów, budynków podczas trzęsień ziemi).

Najważniejsze wzory

Równanie ruchu harmonicznego

$$x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$$

Sinusoidalna zależność wychylenia od czasu w ruchu harmonicznym.

Siła zwracająca

$$F = -kx$$

Siła proporcjonalna do wychylenia i skierowana do położenia równowagi.

Częstość kołowa

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$

Związek częstości kołowej z okresem i częstotliwością.

Okres wahadła matematycznego

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Okres wahadła zależny od długości i przyspieszenia ziemskiego, niezależny od masy.

Okres drgań sprężyny

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Okres oscylatora sprężynowego zależny od masy i stałej sprężystości.

Maksymalna prędkość

$$v_{max} = A\omega$$

Największa prędkość drgającego ciała, osiągana w położeniu równowagi.

Maksymalne przyspieszenie

$$a_{max} = A\omega^2$$

Największe przyspieszenie, osiągane w punktach maksymalnego wychylenia.

Energia całkowita oscylatora

$$E_c = \frac{1}{2}kA^2$$

Stała energia mechaniczna, proporcjonalna do kwadratu amplitudy.

Kluczowe pojęcia

Ruch harmoniczny: Ruch drgający, w którym siła zwracająca jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi.
Amplituda: Maksymalne wychylenie ciała z położenia równowagi w ruchu drgającym.
Okres drgań: Czas, w którym ciało wykonuje jedno pełne drganie.
Częstotliwość: Liczba pełnych drgań wykonanych w jednostce czasu, wyrażana w hercach (Hz).
Rezonans: Gwałtowny wzrost amplitudy drgań, gdy częstotliwość wymuszająca równa się częstotliwości własnej układu.

Najczęściej zadawane pytania

Dlaczego okres wahadła nie zależy od masy?

Bo siła zwracająca (składowa grawitacji) jest proporcjonalna do masy, ale bezwładność ciała również. W równaniu ruchu masa się skraca, więc okres zależy tylko od długości i g.

Gdzie prędkość, a gdzie przyspieszenie jest największe w ruchu harmonicznym?

Prędkość jest maksymalna w położeniu równowagi (x = 0), a przyspieszenie - w punktach maksymalnego wychylenia (x = ±A), bo a = -ω²x.

Czy ruch harmoniczny jest ruchem jednostajnym?

Nie. Prędkość i przyspieszenie ciągle się zmieniają sinusoidalnie. Stałe są tylko okres, amplituda i energia całkowita (przy braku tłumienia).

Co to jest rezonans i kiedy występuje?

To gwałtowny wzrost amplitudy drgań, gdy częstotliwość siły wymuszającej zrówna się z częstotliwością własną układu. Przykłady: huśtawka, rozkołysany most, struna instrumentu.

Drgania i ruch harmoniczny — teoria, wzory i definicje