Zadania z drgań i ruchu harmonicznego — rozwiązania krok po kroku
Ruch harmoniczny to najprostszy rodzaj drgań, w którym siła zwracająca jest proporcjonalna do wychylenia. Opisuje go funkcja sinusoidalna z określonym okresem, amplitudą i fazą. Dział obejmuje wahadło matematyczne, drgania sprężyny, energię oscylatora oraz zjawisko rezonansu.
Oblicz okres drgań wahadła matematycznego o długości 1 m. Przyjmij g = 9,8 m/s² oraz π² ≈ 9,8.
Wzór: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \).
Podstawiamy: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}8}} \).
Liczymy: \( \sqrt{\frac{1}{9{,}8}} \approx 0{,}319 \), więc \( T = 2\pi \cdot 0{,}319 \).
Otrzymujemy \( T \approx 2{,}0 \) s.
T ≈ 2,0 s
Drgania sprężyny
Okres drgań ciężarka
Do sprężyny o stałej k = 200 N/m zawieszono ciężarek o masie 0,5 kg. Oblicz okres jego drgań.
Wzór: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \).
Podstawiamy: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}5}{200}} = 2\pi\sqrt{0{,}0025} \).
Liczymy: \( \sqrt{0{,}0025} = 0{,}05 \), więc \( T = 2\pi \cdot 0{,}05 \).
Otrzymujemy \( T \approx 0{,}31 \) s.
T ≈ 0,31 s
Energia w ruchu harmonicznym
Prędkość maksymalna oscylatora
Ciężarek na sprężynie drga z amplitudą 0,1 m i częstością kołową 10 rad/s. Oblicz jego maksymalną prędkość.
Maksymalna prędkość: \( v_{max} = A\omega \).
Podstawiamy: \( v_{max} = 0{,}1 \cdot 10 \).
Otrzymujemy \( v_{max} = 1 \) m/s.
v_max = 1 m/s
Rezonans i drgania wymuszone
Częstotliwość rezonansowa wahadła
Wahadło ma częstotliwość własną wynikającą z długości 0,25 m. Z jaką częstotliwością należy je wymuszać, by wystąpił rezonans? Przyjmij g = 10 m/s², π² ≈ 10.
Okres własny: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}25}{10}} = 2\pi\sqrt{0{,}025} \).
Liczymy: \( \sqrt{0{,}025} \approx 0{,}158 \), więc \( T \approx 0{,}993 \approx 1 \) s.
Rezonans zachodzi przy częstotliwości własnej: \( f = \frac{1}{T} \approx 1 \) Hz.
f ≈ 1 Hz
Najczęściej zadawane pytania
Dlaczego okres wahadła nie zależy od masy?
Bo siła zwracająca (składowa grawitacji) jest proporcjonalna do masy, ale bezwładność ciała również. W równaniu ruchu masa się skraca, więc okres zależy tylko od długości i g.
Gdzie prędkość, a gdzie przyspieszenie jest największe w ruchu harmonicznym?
Prędkość jest maksymalna w położeniu równowagi (x = 0), a przyspieszenie - w punktach maksymalnego wychylenia (x = ±A), bo a = -ω²x.
Czy ruch harmoniczny jest ruchem jednostajnym?
Nie. Prędkość i przyspieszenie ciągle się zmieniają sinusoidalnie. Stałe są tylko okres, amplituda i energia całkowita (przy braku tłumienia).
Co to jest rezonans i kiedy występuje?
To gwałtowny wzrost amplitudy drgań, gdy częstotliwość siły wymuszającej zrówna się z częstotliwością własną układu. Przykłady: huśtawka, rozkołysany most, struna instrumentu.
Potrzebujesz pomocy z fizyką?
Dołącz do kursu online albo umów indywidualne korepetycje. Tłumaczymy fizykę prosto — krok po kroku, aż zrozumiesz.