Zadania z rozwiązaniami

Zadania z drgań i ruchu harmonicznego - rozwiązania krok po kroku

Ruch harmoniczny to najprostszy rodzaj drgań, w którym siła zwracająca jest proporcjonalna do wychylenia. Opisuje go funkcja sinusoidalna z określonym okresem, amplitudą i fazą. Dział obejmuje wahadło matematyczne, drgania sprężyny, energię oscylatora oraz zjawisko rezonansu.

📖 Powtórz teorię

Kategorie zadań

Zestaw zadańWahadło matematyczneOkres wahadła zależy tylko od jego długości i przyspieszenia ziemskiego, nie od masy.Zestaw zadańDrgania sprężynyOkres ciężarka na sprężynie zależy od masy i stałej sprężystości, nie od amplitudy.Zestaw zadańEnergia w ruchu harmonicznymEnergia oscylatora przechodzi okresowo między postacią potencjalną a kinetyczną przy stałej sumie.Zestaw zadańRezonans i drgania wymuszoneRezonans to gwałtowny wzrost amplitudy, gdy częstotliwość wymuszająca równa się częstotliwości własnej.

Przykładowe zadania z rozwiązaniami

Wahadło matematyczne

Okres wahadła

Oblicz okres drgań wahadła matematycznego o długości 1 m. Przyjmij g = 9,8 m/s² oraz π² ≈ 9,8.

1
Wzór: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \).
2
Podstawiamy: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}8}} \).
3
Liczymy: \( \sqrt{\frac{1}{9{,}8}} \approx 0{,}319 \), więc \( T = 2\pi \cdot 0{,}319 \).
4
Otrzymujemy \( T \approx 2{,}0 \) s.

T ≈ 2,0 s

Więcej zadań: Wahadło matematyczne →

Drgania sprężyny

Okres drgań ciężarka

Do sprężyny o stałej k = 200 N/m zawieszono ciężarek o masie 0,5 kg. Oblicz okres jego drgań.

1
Wzór: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \).
2
Podstawiamy: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}5}{200}} = 2\pi\sqrt{0{,}0025} \).
3
Liczymy: \( \sqrt{0{,}0025} = 0{,}05 \), więc \( T = 2\pi \cdot 0{,}05 \).
4
Otrzymujemy \( T \approx 0{,}31 \) s.

T ≈ 0,31 s

Więcej zadań: Drgania sprężyny →

Energia w ruchu harmonicznym

Prędkość maksymalna oscylatora

Ciężarek na sprężynie drga z amplitudą 0,1 m i częstością kołową 10 rad/s. Oblicz jego maksymalną prędkość.

1
Maksymalna prędkość: \( v_{max} = A\omega \).
2
Podstawiamy: \( v_{max} = 0{,}1 \cdot 10 \).
3
Otrzymujemy \( v_{max} = 1 \) m/s.

v_max = 1 m/s

Więcej zadań: Energia w ruchu harmonicznym →

Rezonans i drgania wymuszone

Częstotliwość rezonansowa wahadła

Wahadło ma częstotliwość własną wynikającą z długości 0,25 m. Z jaką częstotliwością należy je wymuszać, by wystąpił rezonans? Przyjmij g = 10 m/s², π² ≈ 10.

1
Okres własny: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}25}{10}} = 2\pi\sqrt{0{,}025} \).
2
Liczymy: \( \sqrt{0{,}025} \approx 0{,}158 \), więc \( T \approx 0{,}993 \approx 1 \) s.
3
Rezonans zachodzi przy częstotliwości własnej: \( f = \frac{1}{T} \approx 1 \) Hz.

f ≈ 1 Hz

Więcej zadań: Rezonans i drgania wymuszone →

Najczęściej zadawane pytania

Dlaczego okres wahadła nie zależy od masy?+

Bo siła zwracająca (składowa grawitacji) jest proporcjonalna do masy, ale bezwładność ciała również. W równaniu ruchu masa się skraca, więc okres zależy tylko od długości i g.

Gdzie prędkość, a gdzie przyspieszenie jest największe w ruchu harmonicznym?+

Prędkość jest maksymalna w położeniu równowagi (x = 0), a przyspieszenie - w punktach maksymalnego wychylenia (x = ±A), bo a = -ω²x.

Czy ruch harmoniczny jest ruchem jednostajnym?+

Nie. Prędkość i przyspieszenie ciągle się zmieniają sinusoidalnie. Stałe są tylko okres, amplituda i energia całkowita (przy braku tłumienia).

Co to jest rezonans i kiedy występuje?+

To gwałtowny wzrost amplitudy drgań, gdy częstotliwość siły wymuszającej zrówna się z częstotliwością własną układu. Przykłady: huśtawka, rozkołysany most, struna instrumentu.

Chcesz przerobić ten dział do końca?

W kursie dział „Ruch drgający” ma lekcję wideo, cztery poziomy materiałów PDF (od teorii po arkusze CKE) i quiz. Możesz kupić sam ten dział za 177 zł albo cały kurs.

🔁 Dział 5: Ruch drgający →📚 Cały kurs i ceny 👨‍🏫 Zobacz korepetycje