Ruch obrotowy i bryła sztywna - teoria, wzory i definicje

W ruchu obrotowym położenie bryły opisujemy kątem obrotu \( \varphi \) wyrażonym w radianach. Wielkości kątowe są analogiczne do liniowych:

• prędkość kątowa \( \omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} \) [rad/s],
• przyspieszenie kątowe \( \varepsilon = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} \) [rad/s²].

Wielkości liniowe punktu w odległości \( r \) od osi to \( v = \omega r \) oraz \( a_{styczne} = \varepsilon r \). Dodatkowo każdy punkt ma przyspieszenie dośrodkowe \( a_d = \omega^2 r \). Dla ruchu jednostajnie zmiennego obowiązują wzory analogiczne do kinematyki: \( \varphi = \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\varepsilon t^2 \).

Moment siły (moment obrotowy) to miara zdolności siły do wprawiania ciała w ruch obrotowy. Dla siły działającej prostopadle do ramienia: \( M = F \cdot r \), a ogólnie \( M = F r \sin\alpha \), gdzie \( \alpha \) to kąt między siłą a ramieniem.

• Im większe ramię, tym większy moment siły przy tej samej sile.
• Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego: \( M = I\varepsilon \), gdzie \( I \) to moment bezwładności.

Jest to analogia do \( F = ma \): moment siły odpowiada sile, moment bezwładności masie, a przyspieszenie kątowe przyspieszeniu liniowemu.

Moment bezwładności \( I \) określa, jak trudno zmienić stan ruchu obrotowego ciała. Zależy nie tylko od masy, lecz także od jej rozmieszczenia względem osi obrotu: \( I = \sum m_i r_i^2 \).

• punkt materialny: \( I = mr^2 \),
• obręcz/walec cienkościenny: \( I = mr^2 \),
• walec pełny/krążek: \( I = \tfrac{1}{2}mr^2 \),
• kula pełna: \( I = \tfrac{2}{5}mr^2 \).

Im dalej masa jest rozmieszczona od osi, tym większy moment bezwładności. Dlatego łyżwiarz przyciąga ręce, by zmniejszyć \( I \) i przyspieszyć obrót.

Moment pędu bryły sztywnej to \( L = I\omega \), a dla punktu materialnego \( L = mvr \). Jest to wektorowa wielkość fizyczna analogiczna do pędu \( p = mv \).

• Zasada zachowania momentu pędu: jeśli wypadkowy moment sił zewnętrznych jest zerowy, to \( L = const \).
• Oznacza to \( I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2 \) - zmniejszenie momentu bezwładności powoduje wzrost prędkości kątowej.

Zasada ta tłumaczy zachowanie wirujących łyżwiarzy, ruch planet (II prawo Keplera) oraz stabilność żyroskopów i kół rowerowych.

Obracająca się bryła ma energię kinetyczną \( E_{k,obr} = \tfrac{1}{2}I\omega^2 \). Przy toczeniu bez poślizgu ciało wykonuje jednocześnie ruch postępowy i obrotowy, więc:

Warunek toczenia bez poślizgu to \( v = \omega r \). Z tego powodu walec pełny stacza się po równi szybciej niż obręcz - mniejszy moment bezwładności oznacza, że mniejsza część energii potencjalnej zamienia się na energię obrotu, a większa na energię ruchu postępowego.