Ruch obrotowy i bryła sztywna — teoria, wzory i definicje | Fizyka

Kinematyka ruchu obrotowego

W ruchu obrotowym położenie bryły opisujemy kątem obrotu $ \varphi $ wyrażonym w radianach. Wielkości kątowe są analogiczne do liniowych:

prędkość kątowa $ \omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} $ [rad/s],
przyspieszenie kątowe $ \varepsilon = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} $ [rad/s²].

Wielkości liniowe punktu w odległości $ r $ od osi to $ v = \omega r $ oraz $ a_{styczne} = \varepsilon r $. Dodatkowo każdy punkt ma przyspieszenie dośrodkowe $ a_d = \omega^2 r $. Dla ruchu jednostajnie zmiennego obowiązują wzory analogiczne do kinematyki: $ \varphi = \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\varepsilon t^2 $.

Moment siły i druga zasada dynamiki dla obrotu

Moment siły (moment obrotowy) to miara zdolności siły do wprawiania ciała w ruch obrotowy. Dla siły działającej prostopadle do ramienia: $ M = F \cdot r $, a ogólnie $ M = F r \sin\alpha $, gdzie $ \alpha $ to kąt między siłą a ramieniem.

Im większe ramię, tym większy moment siły przy tej samej sile.
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego: $ M = I\varepsilon $, gdzie $ I $ to moment bezwładności.

Jest to analogia do $ F = ma $: moment siły odpowiada sile, moment bezwładności masie, a przyspieszenie kątowe przyspieszeniu liniowemu.

Moment bezwładności

Moment bezwładności $ I $ określa, jak trudno zmienić stan ruchu obrotowego ciała. Zależy nie tylko od masy, lecz także od jej rozmieszczenia względem osi obrotu: $ I = \sum m_i r_i^2 $.

punkt materialny: $ I = mr^2 $,
obręcz/walec cienkościenny: $ I = mr^2 $,
walec pełny/krążek: $ I = \tfrac{1}{2}mr^2 $,
kula pełna: $ I = \tfrac{2}{5}mr^2 $.

Im dalej masa jest rozmieszczona od osi, tym większy moment bezwładności. Dlatego łyżwiarz przyciąga ręce, by zmniejszyć $ I $ i przyspieszyć obrót.

Moment pędu i jego zasada zachowania

Moment pędu bryły sztywnej to $ L = I\omega $, a dla punktu materialnego $ L = mvr $. Jest to wektorowa wielkość fizyczna analogiczna do pędu $ p = mv $.

Zasada zachowania momentu pędu: jeśli wypadkowy moment sił zewnętrznych jest zerowy, to $ L = const $.
Oznacza to $ I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2 $ - zmniejszenie momentu bezwładności powoduje wzrost prędkości kątowej.

Zasada ta tłumaczy zachowanie wirujących łyżwiarzy, ruch planet (II prawo Keplera) oraz stabilność żyroskopów i kół rowerowych.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego i toczenie

Obracająca się bryła ma energię kinetyczną $ E_{k,obr} = \tfrac{1}{2}I\omega^2 $. Przy toczeniu bez poślizgu ciało wykonuje jednocześnie ruch postępowy i obrotowy, więc:

$$ E_k = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 $$

Warunek toczenia bez poślizgu to $ v = \omega r $. Z tego powodu walec pełny stacza się po równi szybciej niż obręcz - mniejszy moment bezwładności oznacza, że mniejsza część energii potencjalnej zamienia się na energię obrotu, a większa na energię ruchu postępowego.

Najważniejsze wzory

Prędkość kątowa

$$\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}$$

Stosunek zmiany kąta obrotu do czasu; jednostka rad/s.

Związek prędkości liniowej i kątowej

$$v = \omega r$$

Prędkość liniowa punktu w odległości r od osi obrotu.

Przyspieszenie kątowe

$$\varepsilon = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$$

Tempo zmian prędkości kątowej; jednostka rad/s².

Moment siły

$$M = F r \sin\alpha$$

Iloczyn siły i ramienia; decyduje o zmianie ruchu obrotowego.

II zasada dynamiki dla obrotu

$$M = I\varepsilon$$

Wypadkowy moment siły równy iloczynowi momentu bezwładności i przyspieszenia kątowego.

Moment bezwładności punktu

$$I = m r^2$$

Miara bezwładności obrotowej zależna od masy i kwadratu odległości od osi.

Moment pędu bryły

$$L = I\omega$$

Wielkość zachowywana przy zerowym momencie sił zewnętrznych.

Energia kinetyczna obrotu

$$E_{k} = \frac{1}{2}I\omega^2$$

Energia związana z ruchem obrotowym bryły.

Energia przy toczeniu

$$E_k = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$

Suma energii ruchu postępowego i obrotowego ciała toczącego się bez poślizgu.

Kluczowe pojęcia

Bryła sztywna: Ciało, którego punkty nie zmieniają wzajemnych odległości - nie ulega deformacji podczas ruchu.
Moment siły: Wielkość wektorowa równa iloczynowi siły i ramienia, opisująca zdolność siły do wywoływania obrotu.
Moment bezwładności: Miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym, zależna od masy i jej rozkładu względem osi.
Moment pędu: Iloczyn momentu bezwładności i prędkości kątowej; wielkość zachowywana przy braku zewnętrznego momentu sił.
Toczenie bez poślizgu: Ruch, w którym punkt styku ciała z podłożem ma chwilowo zerową prędkość, co daje warunek v = ωr.

Najczęściej zadawane pytania

Czym różni się moment siły od momentu pędu?

Moment siły opisuje przyczynę zmiany ruchu obrotowego (działanie siły na ramieniu), natomiast moment pędu to wielkość charakteryzująca sam stan obrotu bryły (I·ω). Moment siły jest analogiczny do siły, a moment pędu do pędu.

Dlaczego łyżwiarz kręci się szybciej, gdy przyciąga ręce?

Przyciągając ręce, zmniejsza swój moment bezwładności I. Ponieważ moment pędu L = I·ω jest zachowany (brak zewnętrznego momentu sił), zmniejszenie I powoduje wzrost prędkości kątowej ω.

Od czego zależy moment bezwładności?

Od masy ciała oraz, co kluczowe, od jej rozkładu względem osi obrotu - im dalej masa jest od osi, tym większy moment bezwładności, bo wchodzi on z kwadratem odległości (mr²).

Która bryła stacza się najszybciej po równi?

Im mniejszy współczynnik przy mr², tym szybciej. Najszybciej stacza się kula pełna (2/5), potem walec pełny (1/2), a najwolniej obręcz (1), niezależnie od masy i promienia.

Ruch obrotowy i bryła sztywna — teoria, wzory i definicje