Zadania z rozwiązaniami

Zadania z ruchu obrotowego - rozwiązania krok po kroku

Ruch obrotowy opisuje obracanie się bryły sztywnej wokół osi. Kluczowe pojęcia to moment siły, moment bezwładności oraz moment pędu, a zasada zachowania momentu pędu jest analogiczna do zasady zachowania pędu w ruchu postępowym. Dział łączy kinematykę i dynamikę ruchu obrotowego.

📖 Powtórz teorię

Kategorie zadań

Zestaw zadańMoment siły i równowagaMoment siły decyduje o obracaniu ciała. Warunkiem równowagi bryły jest zerowanie się sumy momentów sił.Zestaw zadańMoment bezwładnościMoment bezwładności określa opór ciała przeciw zmianie ruchu obrotowego i zależy od rozkładu masy.Zestaw zadańMoment pędu i jego zachowanieMoment pędu L = I·ω jest zachowany, gdy na układ nie działa zewnętrzny moment sił.Zestaw zadańToczenie po równi pochyłejPrzy staczaniu energia potencjalna zamienia się na energię ruchu postępowego i obrotowego.

Przykładowe zadania z rozwiązaniami

Moment siły i równowaga

Równowaga dźwigni

Na końcach nieważkiej belki o długości 2 m podparto ją w środku. Po lewej stronie, 0,8 m od podpory, wisi ciężarek o masie 5 kg. W jakiej odległości od podpory po prawej stronie należy zawiesić ciężarek o masie 4 kg, aby belka była w równowadze? Przyjmij g = 10 m/s².

1
Warunek równowagi momentów: moment siły z lewej = moment siły z prawej, czyli \( m_1 g \cdot r_1 = m_2 g \cdot r_2 \).
2
Przyspieszenie ziemskie się skraca: \( m_1 r_1 = m_2 r_2 \).
3
Podstawiamy: \( 5 \cdot 0{,}8 = 4 \cdot r_2 \), czyli \( 4 = 4 r_2 \).
4
Stąd \( r_2 = 1 \) m.

r₂ = 1 m

Więcej zadań: Moment siły i równowaga →

Moment bezwładności

Moment bezwładności układu mas punktowych

Dwie kulki o masach 2 kg każda zamocowano na nieważkim pręcie w odległości 0,3 m od osi obrotu przechodzącej przez środek. Oblicz moment bezwładności układu.

1
Dla pojedynczej kulki: \( I_1 = m r^2 = 2 \cdot 0{,}3^2 = 2 \cdot 0{,}09 = 0{,}18 \) kg·m².
2
Układ ma dwie identyczne kulki: \( I = 2 I_1 \).
3
Obliczamy: \( I = 2 \cdot 0{,}18 = 0{,}36 \) kg·m².

I = 0,36 kg·m²

Więcej zadań: Moment bezwładności →

Moment pędu i jego zachowanie

Łyżwiarz przyciąga ręce

Łyżwiarz wiruje z prędkością kątową 2 rad/s, mając moment bezwładności 6 kg·m². Po przyciągnięciu rąk jego moment bezwładności maleje do 2 kg·m². Oblicz nową prędkość kątową.

1
Zasada zachowania momentu pędu: \( I_1\omega_1 = I_2\omega_2 \).
2
Wyznaczamy: \( \omega_2 = \frac{I_1\omega_1}{I_2} = \frac{6 \cdot 2}{2} \).
3
Obliczamy: \( \omega_2 = \frac{12}{2} = 6 \) rad/s.

ω₂ = 6 rad/s

Więcej zadań: Moment pędu i jego zachowanie →

Toczenie po równi pochyłej

Prędkość staczającego się walca

Walec pełny stacza się bez poślizgu z równi o wysokości 0,3 m. Oblicz prędkość jego środka u podstawy równi. Przyjmij g = 10 m/s².

1
Bilans energii: \( mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2 \), gdzie \( I = \tfrac{1}{2}mr^2 \) i \( \omega = \frac{v}{r} \).
2
Po podstawieniu: \( mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}mr^2 \cdot \frac{v^2}{r^2} = \tfrac{3}{4}mv^2 \).
3
Masa się skraca: \( gh = \tfrac{3}{4}v^2 \), stąd \( v = \sqrt{\tfrac{4gh}{3}} \).
4
Podstawiamy: \( v = \sqrt{\tfrac{4 \cdot 10 \cdot 0{,}3}{3}} = \sqrt{4} = 2 \) m/s.

v = 2 m/s

Więcej zadań: Toczenie po równi pochyłej →

Najczęściej zadawane pytania

Czym różni się moment siły od momentu pędu?+

Moment siły opisuje przyczynę zmiany ruchu obrotowego (działanie siły na ramieniu), natomiast moment pędu to wielkość charakteryzująca sam stan obrotu bryły (I·ω). Moment siły jest analogiczny do siły, a moment pędu do pędu.

Dlaczego łyżwiarz kręci się szybciej, gdy przyciąga ręce?+

Przyciągając ręce, zmniejsza swój moment bezwładności I. Ponieważ moment pędu L = I·ω jest zachowany (brak zewnętrznego momentu sił), zmniejszenie I powoduje wzrost prędkości kątowej ω.

Od czego zależy moment bezwładności?+

Od masy ciała oraz, co kluczowe, od jej rozkładu względem osi obrotu - im dalej masa jest od osi, tym większy moment bezwładności, bo wchodzi on z kwadratem odległości (mr²).

Która bryła stacza się najszybciej po równi?+

Im mniejszy współczynnik przy mr², tym szybciej. Najszybciej stacza się kula pełna (2/5), potem walec pełny (1/2), a najwolniej obręcz (1), niezależnie od masy i promienia.

Chcesz przerobić ten dział do końca?

W kursie dział „Bryła sztywna” ma lekcję wideo, cztery poziomy materiałów PDF (od teorii po arkusze CKE) i quiz. Możesz kupić sam ten dział za 177 zł albo cały kurs.

🧱 Dział 4: Bryła sztywna →📚 Cały kurs i ceny 👨‍🏫 Zobacz korepetycje