Zadania z rozwiązaniami

Zadania z ruchu obrotowego — rozwiązania krok po kroku

Ruch obrotowy opisuje obracanie się bryły sztywnej wokół osi. Kluczowe pojęcia to moment siły, moment bezwładności oraz moment pędu, a zasada zachowania momentu pędu jest analogiczna do zasady zachowania pędu w ruchu postępowym. Dział łączy kinematykę i dynamikę ruchu obrotowego.

📖 Powtórz teorię

Kategorie zadań

Zestaw zadań Moment siły i równowaga Moment siły decyduje o obracaniu ciała. Warunkiem równowagi bryły jest zerowanie się sumy momentów sił. Zestaw zadań Moment bezwładności Moment bezwładności określa opór ciała przeciw zmianie ruchu obrotowego i zależy od rozkładu masy. Zestaw zadań Moment pędu i jego zachowanie Moment pędu L = I·ω jest zachowany, gdy na układ nie działa zewnętrzny moment sił. Zestaw zadań Toczenie po równi pochyłej Przy staczaniu energia potencjalna zamienia się na energię ruchu postępowego i obrotowego.

Przykładowe zadania z rozwiązaniami

Moment siły i równowaga

Równowaga dźwigni

Na końcach nieważkiej belki o długości 2 m podparto ją w środku. Po lewej stronie, 0,8 m od podpory, wisi ciężarek o masie 5 kg. W jakiej odległości od podpory po prawej stronie należy zawiesić ciężarek o masie 4 kg, aby belka była w równowadze? Przyjmij g = 10 m/s².
  1. Warunek równowagi momentów: moment siły z lewej = moment siły z prawej, czyli \( m_1 g \cdot r_1 = m_2 g \cdot r_2 \).
  2. Przyspieszenie ziemskie się skraca: \( m_1 r_1 = m_2 r_2 \).
  3. Podstawiamy: \( 5 \cdot 0{,}8 = 4 \cdot r_2 \), czyli \( 4 = 4 r_2 \).
  4. Stąd \( r_2 = 1 \) m.
r₂ = 1 m

Moment bezwładności

Moment bezwładności układu mas punktowych

Dwie kulki o masach 2 kg każda zamocowano na nieważkim pręcie w odległości 0,3 m od osi obrotu przechodzącej przez środek. Oblicz moment bezwładności układu.
  1. Dla pojedynczej kulki: \( I_1 = m r^2 = 2 \cdot 0{,}3^2 = 2 \cdot 0{,}09 = 0{,}18 \) kg·m².
  2. Układ ma dwie identyczne kulki: \( I = 2 I_1 \).
  3. Obliczamy: \( I = 2 \cdot 0{,}18 = 0{,}36 \) kg·m².
I = 0,36 kg·m²

Moment pędu i jego zachowanie

Łyżwiarz przyciąga ręce

Łyżwiarz wiruje z prędkością kątową 2 rad/s, mając moment bezwładności 6 kg·m². Po przyciągnięciu rąk jego moment bezwładności maleje do 2 kg·m². Oblicz nową prędkość kątową.
  1. Zasada zachowania momentu pędu: \( I_1\omega_1 = I_2\omega_2 \).
  2. Wyznaczamy: \( \omega_2 = \frac{I_1\omega_1}{I_2} = \frac{6 \cdot 2}{2} \).
  3. Obliczamy: \( \omega_2 = \frac{12}{2} = 6 \) rad/s.
ω₂ = 6 rad/s

Toczenie po równi pochyłej

Prędkość staczającego się walca

Walec pełny stacza się bez poślizgu z równi o wysokości 0,3 m. Oblicz prędkość jego środka u podstawy równi. Przyjmij g = 10 m/s².
  1. Bilans energii: \( mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2 \), gdzie \( I = \tfrac{1}{2}mr^2 \) i \( \omega = \frac{v}{r} \).
  2. Po podstawieniu: \( mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}mr^2 \cdot \frac{v^2}{r^2} = \tfrac{3}{4}mv^2 \).
  3. Masa się skraca: \( gh = \tfrac{3}{4}v^2 \), stąd \( v = \sqrt{\tfrac{4gh}{3}} \).
  4. Podstawiamy: \( v = \sqrt{\tfrac{4 \cdot 10 \cdot 0{,}3}{3}} = \sqrt{4} = 2 \) m/s.
v = 2 m/s

Najczęściej zadawane pytania

Czym różni się moment siły od momentu pędu?

Moment siły opisuje przyczynę zmiany ruchu obrotowego (działanie siły na ramieniu), natomiast moment pędu to wielkość charakteryzująca sam stan obrotu bryły (I·ω). Moment siły jest analogiczny do siły, a moment pędu do pędu.

Dlaczego łyżwiarz kręci się szybciej, gdy przyciąga ręce?

Przyciągając ręce, zmniejsza swój moment bezwładności I. Ponieważ moment pędu L = I·ω jest zachowany (brak zewnętrznego momentu sił), zmniejszenie I powoduje wzrost prędkości kątowej ω.

Od czego zależy moment bezwładności?

Od masy ciała oraz, co kluczowe, od jej rozkładu względem osi obrotu - im dalej masa jest od osi, tym większy moment bezwładności, bo wchodzi on z kwadratem odległości (mr²).

Która bryła stacza się najszybciej po równi?

Im mniejszy współczynnik przy mr², tym szybciej. Najszybciej stacza się kula pełna (2/5), potem walec pełny (1/2), a najwolniej obręcz (1), niezależnie od masy i promienia.

Potrzebujesz pomocy z fizyką?

Dołącz do kursu online albo umów indywidualne korepetycje. Tłumaczymy fizykę prosto — krok po kroku, aż zrozumiesz.

👨‍🏫 Zobacz korepetycje 📚 Przejdź do kursu

Zobacz również

Teoria i wzory Ruch obrotowy i bryła sztywna — teoria Definicje, prawa i wzory z ruchu obrotowego. Matura Ruch obrotowy i bryła sztywna na maturze Wymagania CKE i typowe zadania. Powiązany dział Dynamika - zasady Newtona Przejdź do teorii dynamiki. Powiązany dział Pęd i zasada zachowania pędu Przejdź do teorii pędu i zasady zachowania pędu. Powiązany dział Praca, moc, energia Przejdź do teorii pracy, mocy i energii.