Teoria fizyki

Grawitacja - teoria, wzory i definicje

Grawitacja to powszechne oddziaływanie między wszystkimi ciałami posiadającymi masę, opisane prawem powszechnego ciążenia Newtona. Dział obejmuje pole grawitacyjne, ruch satelitów, prawa Keplera oraz prędkości kosmiczne. To podstawa zrozumienia ruchu planet i ciał niebieskich.

Przejdź do zadań →

⚡ Ściąga - to musisz znać

Wszystkie wzory ↓Pojęcia ↓

Najważniejsze wzory

Prawo powszechnego ciążenia $F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$
Natężenie pola grawitacyjnego $\gamma = G\frac{M}{r^2}$
Przyspieszenie na wysokości h $g_h = G\frac{M}{(R+h)^2}$
Energia potencjalna grawitacji $E_p = -G\frac{Mm}{r}$
Prędkość orbitalna $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
Pierwsza prędkość kosmiczna $v_I = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

+ jeszcze 2 wzory niżej

Kluczowe pojęcia

Stała grawitacji
Pole grawitacyjne
Pierwsza prędkość kosmiczna
Druga prędkość kosmiczna
Orbita geostacjonarna

Prawo powszechnego ciążenia

Każde dwa ciała o masach $ m_1 $ i $ m_2 $ przyciągają się siłą skierowaną wzdłuż łączącej je prostej:

$$ F = G\frac{m_1 m_2}{r^2} $$

gdzie $ G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} $ N·m²/kg² to stała grawitacji, a $ r $ to odległość między środkami ciał.

Siła rośnie z iloczynem mas i maleje z kwadratem odległości.
Jest to oddziaływanie wzajemne (III zasada dynamiki) - obie masy działają na siebie z jednakową co do wartości siłą.

Prawo wyjaśnia zarówno spadanie ciał na Ziemię, jak i ruch planet wokół Słońca.

Pole grawitacyjne i natężenie

Pole grawitacyjne to obszar, w którym na masy działa siła grawitacji. Charakteryzuje je natężenie pola:

$$ \gamma = \frac{F}{m} = G\frac{M}{r^2} $$

Natężenie pola jest liczbowo równe przyspieszeniu grawitacyjnemu w danym punkcie.

Przy powierzchni Ziemi $ \gamma = g \approx 9{,}81 $ m/s².
Natężenie maleje z kwadratem odległości od środka ciała.

Na wysokości h nad powierzchnią planety przyspieszenie wynosi $ g_h = G\frac{M}{(R+h)^2} $, więc rośnie wraz z oddalaniem się jego spadek.

Energia potencjalna grawitacji

W skali kosmicznej energii potencjalnej nie liczymy wzorem $ mgh $ (ważnym tylko blisko powierzchni), lecz ogólnym:

$$ E_p = -G\frac{Mm}{r} $$

Znak minus oznacza, że energia rośnie (dąży do zera) w miarę oddalania ciał. Poziomem zerowym jest nieskończona odległość.

Aby oddalić ciało od planety, trzeba wykonać pracę dodatnią.
Całkowita energia satelity na orbicie kołowej to $ E = -G\frac{Mm}{2r} $.

Z tego wzoru wyprowadza się druga prędkość kosmiczną - warunek ucieczki z pola grawitacyjnego.

Ruch satelitów i prędkości kosmiczne

Satelita na orbicie kołowej porusza się dzięki temu, że siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej: $ G\frac{Mm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} $. Stąd prędkość orbitalna $ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} $.

Pierwsza prędkość kosmiczna (orbitalna przy powierzchni): $ v_I = \sqrt{\frac{GM}{R}} \approx 7{,}9 $ km/s.
Druga prędkość kosmiczna (ucieczki): $ v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \approx 11{,}2 $ km/s.

Zachodzi prosta zależność $ v_{II} = \sqrt{2}\, v_I $. Pierwsza prędkość pozwala krążyć po orbicie, druga - opuścić pole grawitacyjne planety.

Prawa Keplera

Ruch planet i satelitów opisują trzy prawa Keplera:

I prawo: planety krążą po elipsach, w których ognisku znajduje się Słońce.
II prawo: promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola - planeta porusza się szybciej w peryhelium (wynika z zasady zachowania momentu pędu).
III prawo: $ \frac{T^2}{a^3} = const $ dla wszystkich ciał krążących wokół tego samego centrum.

Trzecie prawo dla orbit kołowych przyjmuje postać $ \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} $ i pozwala wyznaczać masy ciał niebieskich.

Do zapamiętania

Najważniejsze wzory

Prawo powszechnego ciążenia

F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}

Siła grawitacji między dwiema masami zależna odwrotnie od kwadratu odległości.

Natężenie pola grawitacyjnego

\gamma = G\frac{M}{r^2}

Siła działająca na jednostkową masę; równa przyspieszeniu grawitacyjnemu.

Przyspieszenie na wysokości h

g_h = G\frac{M}{(R+h)^2}

Przyspieszenie grawitacyjne maleje z kwadratem odległości od środka planety.

Energia potencjalna grawitacji

E_p = -G\frac{Mm}{r}

Energia potencjalna w polu grawitacyjnym z poziomem zerowym w nieskończoności.

Prędkość orbitalna

v = \sqrt{\frac{GM}{r}}

Prędkość satelity na orbicie kołowej o promieniu r.

Pierwsza prędkość kosmiczna

v_I = \sqrt{\frac{GM}{R}}

Minimalna prędkość do krążenia po orbicie przy powierzchni; ok. 7,9 km/s.

Druga prędkość kosmiczna

v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

Prędkość ucieczki z pola grawitacyjnego; ok. 11,2 km/s.

III prawo Keplera

\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}

Związek między okresem obiegu a promieniem orbity kołowej.

Słowniczek

Kluczowe pojęcia

Stała grawitacji: Uniwersalna stała G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg² występująca w prawie powszechnego ciążenia.
Pole grawitacyjne: Obszar przestrzeni, w którym na masy działają siły grawitacyjne.
Pierwsza prędkość kosmiczna: Minimalna prędkość, jaką musi mieć ciało, by krążyć po orbicie kołowej tuż nad powierzchnią planety.
Druga prędkość kosmiczna: Minimalna prędkość pozwalająca ciału opuścić pole grawitacyjne planety (prędkość ucieczki).
Orbita geostacjonarna: Orbita, na której okres obiegu satelity równa się okresowi obrotu Ziemi, więc satelita pozostaje nad tym samym punktem.

Najczęściej zadawane pytania

Dlaczego w polu grawitacyjnym energia potencjalna jest ujemna?+

Bo poziom zerowy przyjmujemy w nieskończoności. W miarę zbliżania ciał energia maleje (staje się coraz bardziej ujemna), bo grawitacja jest siłą przyciągającą - układ jest związany.

Czemu astronauci na ISS są w stanie nieważkości, skoro grawitacja tam działa?+

Grawitacja na orbicie jest tylko nieco mniejsza niż przy powierzchni. Stan nieważkości wynika z ciągłego swobodnego spadania stacji i astronautów z tym samym przyspieszeniem - krążą oni wokół Ziemi.

Czy druga prędkość kosmiczna zależy od masy ciała wystrzeliwanego?+

Nie. Prędkość ucieczki zależy tylko od masy i promienia planety (M i R), a nie od masy ciała, które ją opuszcza - masa skraca się w bilansie energii.

Co mówi II prawo Keplera?+

Promień wodzący planety zakreśla w równych czasach równe pola. Oznacza to, że planeta porusza się szybciej, gdy jest bliżej Słońca (peryhelium), a wolniej w aphelium.

Chcesz przerobić ten dział do końca?

W kursie dział „Grawitacja i astronomia” ma lekcję wideo, cztery poziomy materiałów PDF (od teorii po arkusze CKE) i quiz. Możesz kupić sam ten dział za 177 zł albo cały kurs.

🪐 Dział 9: Grawitacja i astronomia →📚 Cały kurs i ceny 👨‍🏫 Zobacz korepetycje

Zobacz również

ZadaniaZadania z grawitacjiRozwiązania krok po kroku.MaturaGrawitacja na maturzeWymagania CKE i typowe zadania.Powiązany działDynamika - zasady NewtonaPrzejdź do teorii dynamiki.Powiązany działKinematykaPrzejdź do teorii kinematyki.Powiązany działPraca, moc, energiaPrzejdź do teorii pracy, mocy i energii.