Zadania z grawitacji z rozwiązaniami

Przykładowe zadania z rozwiązaniami

Prawo powszechnego ciążenia

Siła grawitacji między ciałami

Oblicz siłę grawitacji między dwiema kulami o masach 1000 kg każda, których środki są oddalone o 2 m. Przyjmij G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg².

Stosujemy wzór: \( F = G\frac{m_1 m_2}{r^2} \).
Podstawiamy: \( F = 6{,}67\cdot10^{-11} \cdot \frac{1000 \cdot 1000}{2^2} \).
Liczymy licznik: \( 6{,}67\cdot10^{-11} \cdot 10^6 = 6{,}67\cdot10^{-5} \), dzielimy przez 4.
Otrzymujemy \( F \approx 1{,}67\cdot10^{-5} \) N.

F ≈ 1,67·10⁻⁵ N

Ruch satelitów

Prędkość satelity na orbicie

Oblicz prędkość satelity krążącego po orbicie kołowej o promieniu 8·10⁶ m wokół Ziemi. Masa Ziemi M = 6·10²⁴ kg, G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg².

Siła grawitacji jest dośrodkowa: \( G\frac{Mm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \), stąd \( v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \).
Liczymy licznik: \( GM = 6{,}67\cdot10^{-11} \cdot 6\cdot10^{24} \approx 4{,}0\cdot10^{14} \).
Dzielimy przez r: \( \frac{4{,}0\cdot10^{14}}{8\cdot10^{6}} = 5\cdot10^{7} \).
Pierwiastkujemy: \( v = \sqrt{5\cdot10^7} \approx 7{,}1\cdot10^3 \) m/s = 7,1 km/s.

v ≈ 7,1 km/s

Prędkości kosmiczne

Pierwsza prędkość kosmiczna

Oblicz pierwszą prędkość kosmiczną dla Ziemi. M = 6·10²⁴ kg, R = 6,4·10⁶ m, G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg².

Wzór: \( v_I = \sqrt{\frac{GM}{R}} \).
Licznik: \( GM \approx 4{,}0\cdot10^{14} \).
Dzielimy: \( \frac{4{,}0\cdot10^{14}}{6{,}4\cdot10^{6}} = 6{,}25\cdot10^{7} \).
Pierwiastkujemy: \( v_I = \sqrt{6{,}25\cdot10^7} \approx 7{,}9\cdot10^3 \) m/s = 7,9 km/s.

v_I ≈ 7,9 km/s

Prawa Keplera

Zastosowanie III prawa Keplera

Planeta A krąży wokół gwiazdy w czasie 1 roku na orbicie o promieniu r. Planeta B ma promień orbity 4r. Oblicz okres obiegu planety B.

III prawo Keplera: \( \frac{T_A^2}{r_A^3} = \frac{T_B^2}{r_B^3} \).
Stąd \( T_B^2 = T_A^2 \cdot \frac{r_B^3}{r_A^3} = 1^2 \cdot \frac{(4r)^3}{r^3} = 64 \).
Pierwiastkujemy: \( T_B = \sqrt{64} = 8 \) lat.

T_B = 8 lat

Najczęściej zadawane pytania

Dlaczego w polu grawitacyjnym energia potencjalna jest ujemna?

Bo poziom zerowy przyjmujemy w nieskończoności. W miarę zbliżania ciał energia maleje (staje się coraz bardziej ujemna), bo grawitacja jest siłą przyciągającą - układ jest związany.

Czemu astronauci na ISS są w stanie nieważkości, skoro grawitacja tam działa?

Grawitacja na orbicie jest tylko nieco mniejsza niż przy powierzchni. Stan nieważkości wynika z ciągłego swobodnego spadania stacji i astronautów z tym samym przyspieszeniem - krążą oni wokół Ziemi.

Czy druga prędkość kosmiczna zależy od masy ciała wystrzeliwanego?

Nie. Prędkość ucieczki zależy tylko od masy i promienia planety (M i R), a nie od masy ciała, które ją opuszcza - masa skraca się w bilansie energii.

Co mówi II prawo Keplera?

Promień wodzący planety zakreśla w równych czasach równe pola. Oznacza to, że planeta porusza się szybciej, gdy jest bliżej Słońca (peryhelium), a wolniej w aphelium.

Zadania z grawitacji — rozwiązania krok po kroku

Kategorie zadań