Zadania z rozwiązaniami

Zadania z grawitacji - rozwiązania krok po kroku

Grawitacja to powszechne oddziaływanie między wszystkimi ciałami posiadającymi masę, opisane prawem powszechnego ciążenia Newtona. Dział obejmuje pole grawitacyjne, ruch satelitów, prawa Keplera oraz prędkości kosmiczne. To podstawa zrozumienia ruchu planet i ciał niebieskich.

📖 Powtórz teorię

Kategorie zadań

Zestaw zadańPrawo powszechnego ciążeniaSiła grawitacji między masami zależy od ich iloczynu i odwrotnie od kwadratu odległości.Zestaw zadańRuch satelitówSiła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej, utrzymując satelitę na orbicie.Zestaw zadańPrędkości kosmicznePierwsza prędkość pozwala krążyć po orbicie, druga - opuścić pole grawitacyjne planety.Zestaw zadańPrawa KepleraPrawa Keplera opisują kształt orbit, zmienność prędkości i związek okresu z promieniem orbity.

Przykładowe zadania z rozwiązaniami

Prawo powszechnego ciążenia

Siła grawitacji między ciałami

Oblicz siłę grawitacji między dwiema kulami o masach 1000 kg każda, których środki są oddalone o 2 m. Przyjmij G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg².

1
Stosujemy wzór: \( F = G\frac{m_1 m_2}{r^2} \).
2
Podstawiamy: \( F = 6{,}67\cdot10^{-11} \cdot \frac{1000 \cdot 1000}{2^2} \).
3
Liczymy licznik: \( 6{,}67\cdot10^{-11} \cdot 10^6 = 6{,}67\cdot10^{-5} \), dzielimy przez 4.
4
Otrzymujemy \( F \approx 1{,}67\cdot10^{-5} \) N.

F ≈ 1,67·10⁻⁵ N

Więcej zadań: Prawo powszechnego ciążenia →

Ruch satelitów

Prędkość satelity na orbicie

Oblicz prędkość satelity krążącego po orbicie kołowej o promieniu 8·10⁶ m wokół Ziemi. Masa Ziemi M = 6·10²⁴ kg, G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg².

1
Siła grawitacji jest dośrodkowa: \( G\frac{Mm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \), stąd \( v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \).
2
Liczymy licznik: \( GM = 6{,}67\cdot10^{-11} \cdot 6\cdot10^{24} \approx 4{,}0\cdot10^{14} \).
3
Dzielimy przez r: \( \frac{4{,}0\cdot10^{14}}{8\cdot10^{6}} = 5\cdot10^{7} \).
4
Pierwiastkujemy: \( v = \sqrt{5\cdot10^7} \approx 7{,}1\cdot10^3 \) m/s = 7,1 km/s.

v ≈ 7,1 km/s

Więcej zadań: Ruch satelitów →

Prędkości kosmiczne

Pierwsza prędkość kosmiczna

Oblicz pierwszą prędkość kosmiczną dla Ziemi. M = 6·10²⁴ kg, R = 6,4·10⁶ m, G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg².

1
Wzór: \( v_I = \sqrt{\frac{GM}{R}} \).
2
Licznik: \( GM \approx 4{,}0\cdot10^{14} \).
3
Dzielimy: \( \frac{4{,}0\cdot10^{14}}{6{,}4\cdot10^{6}} = 6{,}25\cdot10^{7} \).
4
Pierwiastkujemy: \( v_I = \sqrt{6{,}25\cdot10^7} \approx 7{,}9\cdot10^3 \) m/s = 7,9 km/s.

v_I ≈ 7,9 km/s

Więcej zadań: Prędkości kosmiczne →

Prawa Keplera

Zastosowanie III prawa Keplera

Planeta A krąży wokół gwiazdy w czasie 1 roku na orbicie o promieniu r. Planeta B ma promień orbity 4r. Oblicz okres obiegu planety B.

1
III prawo Keplera: \( \frac{T_A^2}{r_A^3} = \frac{T_B^2}{r_B^3} \).
2
Stąd \( T_B^2 = T_A^2 \cdot \frac{r_B^3}{r_A^3} = 1^2 \cdot \frac{(4r)^3}{r^3} = 64 \).
3
Pierwiastkujemy: \( T_B = \sqrt{64} = 8 \) lat.

T_B = 8 lat

Więcej zadań: Prawa Keplera →

Najczęściej zadawane pytania

Dlaczego w polu grawitacyjnym energia potencjalna jest ujemna?+

Bo poziom zerowy przyjmujemy w nieskończoności. W miarę zbliżania ciał energia maleje (staje się coraz bardziej ujemna), bo grawitacja jest siłą przyciągającą - układ jest związany.

Czemu astronauci na ISS są w stanie nieważkości, skoro grawitacja tam działa?+

Grawitacja na orbicie jest tylko nieco mniejsza niż przy powierzchni. Stan nieważkości wynika z ciągłego swobodnego spadania stacji i astronautów z tym samym przyspieszeniem - krążą oni wokół Ziemi.

Czy druga prędkość kosmiczna zależy od masy ciała wystrzeliwanego?+

Nie. Prędkość ucieczki zależy tylko od masy i promienia planety (M i R), a nie od masy ciała, które ją opuszcza - masa skraca się w bilansie energii.

Co mówi II prawo Keplera?+

Promień wodzący planety zakreśla w równych czasach równe pola. Oznacza to, że planeta porusza się szybciej, gdy jest bliżej Słońca (peryhelium), a wolniej w aphelium.

Chcesz przerobić ten dział do końca?

W kursie dział „Grawitacja i astronomia” ma lekcję wideo, cztery poziomy materiałów PDF (od teorii po arkusze CKE) i quiz. Możesz kupić sam ten dział za 177 zł albo cały kurs.

🪐 Dział 9: Grawitacja i astronomia →📚 Cały kurs i ceny 👨‍🏫 Zobacz korepetycje