Ruch obrotowy i bryła sztywna · zadania

Toczenie po równi pochyłej - zadania z rozwiązaniami

Przy staczaniu energia potencjalna zamienia się na energię ruchu postępowego i obrotowego.

1Prędkość staczającego się walca

Walec pełny stacza się bez poślizgu z równi o wysokości 0,3 m. Oblicz prędkość jego środka u podstawy równi. Przyjmij g = 10 m/s².

1
Bilans energii: \( mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2 \), gdzie \( I = \tfrac{1}{2}mr^2 \) i \( \omega = \frac{v}{r} \).
2
Po podstawieniu: \( mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}mr^2 \cdot \frac{v^2}{r^2} = \tfrac{3}{4}mv^2 \).
3
Masa się skraca: \( gh = \tfrac{3}{4}v^2 \), stąd \( v = \sqrt{\tfrac{4gh}{3}} \).
4
Podstawiamy: \( v = \sqrt{\tfrac{4 \cdot 10 \cdot 0{,}3}{3}} = \sqrt{4} = 2 \) m/s.

v = 2 m/s

2Porównanie kuli i obręczy

Z tej samej wysokości staczają się bez poślizgu kula pełna i obręcz. Która ma większą prędkość u podstawy i dlaczego? Wyznacz stosunek kwadratów ich prędkości.

1
Dla kuli (\( I=\tfrac{2}{5}mr^2 \)): \( gh = \tfrac{1}{2}v^2(1+\tfrac{2}{5}) = \tfrac{7}{10}v_k^2 \), więc \( v_k^2 = \tfrac{10gh}{7} \).
2
Dla obręczy (\( I=mr^2 \)): \( gh = \tfrac{1}{2}v^2(1+1) = v_o^2 \), więc \( v_o^2 = gh \).
3
Stosunek: \( \frac{v_k^2}{v_o^2} = \frac{10gh/7}{gh} = \frac{10}{7} \approx 1{,}43 \).
4
Kula ma większą prędkość, bo mniejsza część energii idzie na ruch obrotowy.

Kula jest szybsza; vₖ²/v₀² = 10/7 ≈ 1,43

Najczęściej zadawane pytania

Dlaczego prędkość staczania nie zależy od masy i promienia?+

Bo masa i promień skracają się w bilansie energii. Liczy się tylko współczynnik przy mr² w momencie bezwładności, czyli kształt bryły.

Chcesz przerobić ten dział do końca?

W kursie dział „Bryła sztywna” ma lekcję wideo, cztery poziomy materiałów PDF (od teorii po arkusze CKE) i quiz. Możesz kupić sam ten dział za 177 zł albo cały kurs.

🧱 Dział 4: Bryła sztywna →📚 Cały kurs i ceny 👨‍🏫 Zobacz korepetycje

Więcej zadań

ZadaniaMoment siły i równowagaMoment siły decyduje o obracaniu ciała. Warunkiem równowagi bryły jest zerowanie się sumy momentów sił.ZadaniaMoment bezwładnościMoment bezwładności określa opór ciała przeciw zmianie ruchu obrotowego i zależy od rozkładu masy.ZadaniaMoment pędu i jego zachowanieMoment pędu L = I·ω jest zachowany, gdy na układ nie działa zewnętrzny moment sił.TeoriaRuch obrotowy i bryła sztywna - teoriaWzory i definicje z ruchu obrotowego.