Strona główna › Baza wiedzy › Zadania: Ruch obrotowy i bryła sztywna › Toczenie po równi pochyłej
Ruch obrotowy i bryła sztywna · zadania
Toczenie po równi pochyłej — zadania z rozwiązaniami
Przy staczaniu energia potencjalna zamienia się na energię ruchu postępowego i obrotowego.
Prędkość staczającego się walca
Walec pełny stacza się bez poślizgu z równi o wysokości 0,3 m. Oblicz prędkość jego środka u podstawy równi. Przyjmij g = 10 m/s².
Bilans energii: \( mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2 \), gdzie \( I = \tfrac{1}{2}mr^2 \) i \( \omega = \frac{v}{r} \). Po podstawieniu: \( mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}mr^2 \cdot \frac{v^2}{r^2} = \tfrac{3}{4}mv^2 \). Masa się skraca: \( gh = \tfrac{3}{4}v^2 \), stąd \( v = \sqrt{\tfrac{4gh}{3}} \). Podstawiamy: \( v = \sqrt{\tfrac{4 \cdot 10 \cdot 0{,}3}{3}} = \sqrt{4} = 2 \) m/s. v = 2 m/s
Porównanie kuli i obręczy
Z tej samej wysokości staczają się bez poślizgu kula pełna i obręcz. Która ma większą prędkość u podstawy i dlaczego? Wyznacz stosunek kwadratów ich prędkości.
Dla kuli (\( I=\tfrac{2}{5}mr^2 \)): \( gh = \tfrac{1}{2}v^2(1+\tfrac{2}{5}) = \tfrac{7}{10}v_k^2 \), więc \( v_k^2 = \tfrac{10gh}{7} \). Dla obręczy (\( I=mr^2 \)): \( gh = \tfrac{1}{2}v^2(1+1) = v_o^2 \), więc \( v_o^2 = gh \). Stosunek: \( \frac{v_k^2}{v_o^2} = \frac{10gh/7}{gh} = \frac{10}{7} \approx 1{,}43 \). Kula ma większą prędkość, bo mniejsza część energii idzie na ruch obrotowy. Kula jest szybsza; vₖ²/v₀² = 10/7 ≈ 1,43
Najczęściej zadawane pytania
Dlaczego prędkość staczania nie zależy od masy i promienia? Bo masa i promień skracają się w bilansie energii. Liczy się tylko współczynnik przy mr² w momencie bezwładności, czyli kształt bryły.
Więcej zadań