Wzory z kinematyki na maturę - komplet z wyjaśnieniem

Najprostszy przypadek: stała prędkość, brak przyspieszenia. Cała kinematyka tego ruchu mieści się w jednej zależności:

\( s = v\,t \)

gdzie \( s \) to droga, \( v \) - stała prędkość, \( t \) - czas. Wykres prędkości od czasu jest linią poziomą, a pole pod nim równa się przebytej drodze. Wykres drogi od czasu jest linią prostą, której nachylenie odpowiada prędkości. Ta interpretacja graficzna wraca w zadaniach częściej niż sam wzór.

Ruch ze stałym przyspieszeniem \( a \). To najważniejszy przypadek na maturze, opisany trzema zależnościami:

• prędkość: \( v = v_0 + a\,t \),
• droga: \( s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2} \),
• zależność bezczasowa: \( v^2 = v_0^2 + 2 a s \).

Dla ruchu przyspieszonego przyjmuj \( a > 0 \), dla opóźnionego \( a < 0 \) (albo odwrotny zwrot). Wzór bezczasowy jest wygodny, gdy w zadaniu nie występuje czas - pozwala ominąć rozwiązywanie równania kwadratowego. Warunek stosowania wszystkich trzech: przyspieszenie musi być stałe.

To ruch jednostajnie zmienny, w którym przyspieszeniem jest \( g \approx 9{,}81\ \mathrm{m/s^2} \). Dla spadku swobodnego bez prędkości początkowej wzory upraszczają się do:

• \( v = g\,t \),
• \( h = \dfrac{g t^2}{2} \).

W rzucie pionowym w górę ciało zwalnia z przyspieszeniem \( g \) skierowanym w dół, na szczycie ma prędkość zerową, a potem swobodnie spada. Kluczowa jest tu konsekwencja w znakach: raz wybrany dodatni zwrot osi obowiązuje do końca zadania.

Rzut poziomy to złożenie dwóch niezależnych ruchów: jednostajnego w poziomie i spadku swobodnego w pionie. Ta niezależność jest sednem - pozwala rozdzielić zadanie na dwa proste.

• poziomo: \( x = v_0\,t \),
• pionowo: \( y = \dfrac{g t^2}{2} \).

Czas lotu wyznacza wyłącznie ruch pionowy - zależy od wysokości, nie od prędkości początkowej. Dwa ciała zrzucone i wystrzelone poziomo z tej samej wysokości spadną w tej samej chwili. Zasięg rzutu obliczysz, wstawiając czas spadku do równania poziomego.

Ciało porusza się ze stałą wartością prędkości, ale zmienia się jej kierunek, więc występuje przyspieszenie dośrodkowe. Podstawowe wielkości:

• okres i częstotliwość: \( T = \dfrac{1}{f} \),
• prędkość liniowa: \( v = \dfrac{2\pi r}{T} = \omega r \),
• prędkość kątowa: \( \omega = \dfrac{2\pi}{T} \),
• przyspieszenie dośrodkowe: \( a_d = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r \).

Uwaga pojęciowa, którą lubią sprawdzać zadania: przyspieszenie dośrodkowe nie zmienia wartości prędkości, tylko jej kierunek. Ruch po okręgu jest przyspieszony mimo stałej szybkości.

Prędkość średnia to iloraz całej drogi przez cały czas: \( v_{\text{śr}} = \dfrac{s}{t} \). Prędkość chwilowa to wartość w konkretnym momencie. W ruchu jednostajnie zmiennym łatwo je pomylić.

Częsta pułapka: przy dwóch etapach ruchu z różnymi prędkościami prędkości średniej nie liczy się jako średniej arytmetycznej prędkości. Trzeba osobno zsumować drogi i osobno czasy, a dopiero potem podzielić. Ta różnica bywa wprost przedmiotem zadania.

Znaczna część zadań kinematycznych to odczyt z wykresu, a nie podstawianie do wzoru. Warto zapamiętać dwie reguły uniwersalne:

• nachylenie wykresu jest pochodną - nachylenie wykresu \( x(t) \) daje prędkość, a nachylenie \( v(t) \) daje przyspieszenie,
• pole pod wykresem jest całką - pole pod \( v(t) \) daje drogę, a pole pod \( a(t) \) daje przyrost prędkości.

Te dwie zasady pozwalają rozwiązać większość zadań graficznych bez sięgania po jakikolwiek wzór.