Wzory z kinematyki na maturę — komplet z wyjaśnieniem

Ruch jednostajny prostoliniowy

Najprostszy przypadek: stała prędkość, brak przyspieszenia. Cała kinematyka tego ruchu mieści się w jednej zależności:

\( s = v\,t \)

gdzie \( s \) to droga, \( v \) — stała prędkość, \( t \) — czas. Wykres prędkości od czasu jest linią poziomą, a pole pod nim równa się przebytej drodze. Wykres drogi od czasu jest linią prostą, której nachylenie odpowiada prędkości. Ta interpretacja graficzna wraca w zadaniach częściej niż sam wzór.

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch ze stałym przyspieszeniem \( a \). To najważniejszy przypadek na maturze, opisany trzema zależnościami:

• prędkość: \( v = v_0 + a\,t \),
• droga: \( s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2} \),
• zależność bezczasowa: \( v^2 = v_0^2 + 2 a s \).

Dla ruchu przyspieszonego przyjmuj \( a > 0 \), dla opóźnionego \( a < 0 \) (albo odwrotny zwrot). Wzór bezczasowy jest wygodny, gdy w zadaniu nie występuje czas — pozwala ominąć rozwiązywanie równania kwadratowego. Warunek stosowania wszystkich trzech: przyspieszenie musi być stałe.

Spadek swobodny i rzut pionowy

To ruch jednostajnie zmienny, w którym przyspieszeniem jest \( g \approx 9{,}81\ \mathrm{m/s^2} \). Dla spadku swobodnego bez prędkości początkowej wzory upraszczają się do:

• \( v = g\,t \),
• \( h = \dfrac{g t^2}{2} \).

W rzucie pionowym w górę ciało zwalnia z przyspieszeniem \( g \) skierowanym w dół, na szczycie ma prędkość zerową, a potem swobodnie spada. Kluczowa jest tu konsekwencja w znakach: raz wybrany dodatni zwrot osi obowiązuje do końca zadania.

Rzut poziomy

Rzut poziomy to złożenie dwóch niezależnych ruchów: jednostajnego w poziomie i spadku swobodnego w pionie. Ta niezależność jest sednem — pozwala rozdzielić zadanie na dwa proste.

• poziomo: \( x = v_0\,t \),
• pionowo: \( y = \dfrac{g t^2}{2} \).

Czas lotu wyznacza wyłącznie ruch pionowy — zależy od wysokości, nie od prędkości początkowej. Dwa ciała zrzucone i wystrzelone poziomo z tej samej wysokości spadną w tej samej chwili. Zasięg rzutu obliczysz, wstawiając czas spadku do równania poziomego.

Ruch jednostajny po okręgu

Ciało porusza się ze stałą wartością prędkości, ale zmienia się jej kierunek, więc występuje przyspieszenie dośrodkowe. Podstawowe wielkości:

• okres i częstotliwość: \( T = \dfrac{1}{f} \),
• prędkość liniowa: \( v = \dfrac{2\pi r}{T} = \omega r \),
• prędkość kątowa: \( \omega = \dfrac{2\pi}{T} \),
• przyspieszenie dośrodkowe: \( a_d = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r \).

Uwaga pojęciowa, którą lubią sprawdzać zadania: przyspieszenie dośrodkowe nie zmienia wartości prędkości, tylko jej kierunek. Ruch po okręgu jest przyspieszony mimo stałej szybkości.

Prędkość średnia a chwilowa

Prędkość średnia to iloraz całej drogi przez cały czas: \( v_{\text{śr}} = \dfrac{s}{t} \). Prędkość chwilowa to wartość w konkretnym momencie. W ruchu jednostajnie zmiennym łatwo je pomylić.

Częsta pułapka: przy dwóch etapach ruchu z różnymi prędkościami prędkości średniej nie liczy się jako średniej arytmetycznej prędkości. Trzeba osobno zsumować drogi i osobno czasy, a dopiero potem podzielić. Ta różnica bywa wprost przedmiotem zadania.

Jak korzystać z wykresów w kinematyce

Znaczna część zadań kinematycznych to odczyt z wykresu, a nie podstawianie do wzoru. Warto zapamiętać dwie reguły uniwersalne:

• nachylenie wykresu jest pochodną — nachylenie wykresu \( x(t) \) daje prędkość, a nachylenie \( v(t) \) daje przyspieszenie,
• pole pod wykresem jest całką — pole pod \( v(t) \) daje drogę, a pole pod \( a(t) \) daje przyrost prędkości.

Te dwie zasady pozwalają rozwiązać większość zadań graficznych bez sięgania po jakikolwiek wzór.