Zadania z rozwiązaniami

Zadania z teorii względności - rozwiązania krok po kroku

Szczególna teoria względności Einsteina opisuje zjawiska zachodzące przy prędkościach bliskich prędkości światła. Wynika z niej dylatacja czasu, skrócenie długości oraz słynna równoważność masy i energii E = mc². Teoria opiera się na dwóch postulatach i radykalnie zmienia rozumienie czasu i przestrzeni.

📖 Powtórz teorię

Kategorie zadań

Zestaw zadańDylatacja czasuDylatacja czasu to wydłużenie czasu obserwowanego dla poruszających się zegarów. Opisuje ją wzór z czynnikiem Lorentza.Zestaw zadańSkrócenie długościSkrócenie długości (kontrakcja Lorentza) to zmniejszenie obserwowanej długości ciała w kierunku ruchu przy prędkościach bliskich c.Zestaw zadańRównoważność masy i energiiWzór E = mc² wiąże masę z energią. Pozwala obliczyć energię spoczynkową ciała i energię uwalnianą przy ubytku masy.Zestaw zadańCzynnik LorentzaCzynnik Lorentza γ to centralna wielkość teorii względności - określa, jak silne są efekty dylatacji czasu, skrócenia długości i wzrostu energii.

Przykładowe zadania z rozwiązaniami

Dylatacja czasu

Czas w rakiecie

Rakieta porusza się z prędkością v = 0,8c. Astronauta mierzy upływ czasu t₀ = 3 lata. Jaki czas upłynie według obserwatora na Ziemi?

1
Obliczam czynnik Lorentza: \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}8^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}64}} \).
2
Pod pierwiastkiem: \( 1 - 0{,}64 = 0{,}36 \), więc \( \gamma = \frac{1}{0{,}6} \approx 1{,}667 \).
3
Czas na Ziemi: \( t = \gamma t_0 = 1{,}667\cdot 3 \).
4
Obliczam: \( t = 5 \, \mathrm{lat} \).

Na Ziemi upłynie 5 lat

Więcej zadań: Dylatacja czasu →

Skrócenie długości

Długość rakiety w ruchu

Rakieta o długości spoczynkowej L₀ = 100 m porusza się z prędkością v = 0,6c. Jaką długość ma rakieta według nieruchomego obserwatora?

1
Stosuję wzór skrócenia: \( L = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \).
2
Obliczam pierwiastek: \( \sqrt{1 - 0{,}6^2} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8 \).
3
Podstawiam: \( L = 100\cdot 0{,}8 \).
4
Otrzymuję \( L = 80 \, \mathrm{m} \).

L = 80 m

Więcej zadań: Skrócenie długości →

Równoważność masy i energii

Energia spoczynkowa elektronu

Oblicz energię spoczynkową elektronu o masie m = 9,1·10⁻³¹ kg. Przyjmij c = 3·10⁸ m/s.

1
Energia spoczynkowa: \( E_0 = mc^2 \).
2
Podstawiam: \( E_0 = 9{,}1\cdot10^{-31}\cdot (3\cdot10^8)^2 \).
3
Obliczam \( c^2 = 9\cdot10^{16} \), więc \( E_0 = 9{,}1\cdot10^{-31}\cdot 9\cdot10^{16} \).
4
Wynik: \( E_0 = 8{,}19\cdot10^{-14} \, \mathrm{J} \approx 0{,}51 \, \mathrm{MeV} \).

E₀ ≈ 8,2·10⁻¹⁴ J ≈ 0,51 MeV

Więcej zadań: Równoważność masy i energii →

Czynnik Lorentza

Obliczanie czynnika Lorentza

Oblicz czynnik Lorentza dla cząstki poruszającej się z prędkością v = 0,9c.

1
Wzór: \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \).
2
Obliczam \( \frac{v^2}{c^2} = 0{,}9^2 = 0{,}81 \).
3
Pod pierwiastkiem: \( 1 - 0{,}81 = 0{,}19 \), \( \sqrt{0{,}19} \approx 0{,}436 \).
4
Stąd \( \gamma = \frac{1}{0{,}436} \approx 2{,}29 \).

γ ≈ 2,29

Więcej zadań: Czynnik Lorentza →

Najczęściej zadawane pytania

Dlaczego nic nie może poruszać się szybciej niż światło?+

Bo przy zbliżaniu do prędkości światła czynnik Lorentza, a wraz z nim energia i pęd ciała, dążą do nieskończoności. Rozpędzenie masy do c wymagałoby nieskończonej energii.

Czy dylatacja czasu to tylko teoria?+

Nie, to potwierdzony eksperymentalnie fakt. Miony powstające w atmosferze docierają do powierzchni Ziemi tylko dlatego, że ich czas życia ulega dylatacji. Potwierdzają to też precyzyjne zegary atomowe.

Co to znaczy, że masa jest formą energii?+

Oznacza, że masa i energia są równoważne - można je przeliczać przez E = mc². W reakcjach jądrowych niewielki ubytek masy zamienia się w ogromną energię.

Czy efekty relatywistyczne dotyczą codziennego życia?+

Przy zwykłych prędkościach są niezauważalnie małe. Mają jednak praktyczne znaczenie np. w systemie GPS, gdzie korekty relatywistyczne czasu są niezbędne do dokładnej nawigacji.

Chcesz przerobić ten dział do końca?

W kursie dział „Fizyka jądrowa i relatywistyka” ma lekcję wideo, cztery poziomy materiałów PDF (od teorii po arkusze CKE) i quiz. Możesz kupić sam ten dział za 177 zł albo cały kurs.

☢️ Dział 16: Fizyka jądrowa i relatywistyka →📚 Cały kurs i ceny 👨‍🏫 Zobacz korepetycje